Permutation des termes d’une série
Théorème
Théorème :
Soit \(\sum^{+\infty}_{k=0}u_k\) une série absolument convergente et soit \(S\) sa somme
Soit \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) une bijection de l'ensemble des indices
Alors la série \(\sum^{+\infty}_{k=0}u_{\sigma(k)}\) converge et $$\sum^{+\infty}_{k=0}u_{\sigma(k)}=S$$
(Série absolument convergente, Série convergente, Bijection, Série convergente, Permutation)
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Exo-Démo
Consigne: Montrer que si \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) est une bijection, et si \(\sum u_k\) est absolument convergente tendant vers \(\ell\), alors \(\sum u_{\sigma(k)}\) est convergente et tend vers \(\ell\)
1: Lemme : soit \(u_n\in{\Bbb R}\) le terme général d'une série convergente
Alors on a : $$\sum\lvert u_n\rvert\text{ converge }\iff\sum u_n^+\text{ et }\sum u_n^-\text{ convergent}$$
Avec $$u_n^+=\begin{cases} u_n&\text{si}\quad u_n\geqslant0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}\quad\text{ et }\quad u_n^-=\begin{cases} -u_n=\lvert u_n\rvert &\text{si}\quad u_n\lt 0\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$
2: Démonstration du lemme : \(\implies\) :
Supposons \(\sum\lvert u_n\rvert\lt +\infty\)
Alors on a $$u_n^+\leqslant\rvert u_n\rvert=u_n^++u_n^-$$
\(\lvert u_n\rvert\) est le terme général d'une série convergente, donc \(u_n^+\) et \(u_n^-\) le sont aussi
3: \(\impliedby\) : si \(\sum u_n^+\) et \(\sum u_n^-\) convergent, alors on a : $$\sum(u_n^++u_n^-)=\sum\lvert u_n\rvert$$
Donc \(\sum\lvert u_n\rvert\) est convergente
4: Application du lemme :
On a : $$u_{\sigma(n)}=u_{\sigma(n)}^+-u_{\sigma(n)}^-\implies\begin{align}\sum u_{\sigma(n)}^+&=\sum u_n^+\\ \sum u_{\sigma(n)}^-&=\sum u_n^-\end{align}\implies\sum u_{\sigma(n)}=\sum u_n$$END